Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики


The Presentation inside:

Slide 0

Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики


Slide 1

Введение Функция называется гармонической, если: 1. Существуют частные производные до второго порядка включительно. 2. Все они непрерывны. 3. Она удовлетворяет уравнению Лапласа:


Slide 2

Методы функции комплексного переменного Если комплексная функция имеет первую производную в области G 1. Она бесконечное число раз дифференцируема. 2. Все эти производные непрерывны и


Slide 3

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. - конформное отображение области G на область G’. является взаимно однозначным отображением.


Slide 4

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Пусть – некоторая гармоническая функция, заданная внутри области , , .


Slide 5

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Тогда частные производные от функции : Следовательно, вторые частные производные от нее же:


Slide 6

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Сложим: Получим: В силу условий Коши-Римана:


Slide 7

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Из получившихся соотношений следует: Т.к. Т.е. – гармоническая функция в .


Slide 8

Задача Дирихле Найти функцию , удовлетворяющую условиям: 1. 2. где – заданная непрерывная функция на границе области .


Slide 9

Задача Дирихле Теорема: «Решение задачи Дирихле существует и притом единственно».


Slide 10

Практическая задача Труба радиуса r помещена на заданной глубине . Найти установившееся распределение температуры в почве, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы (рис.1).


Slide 11

Практическая задача –температура земли в точке . – гармоническая функция. Для нее должно выполняется уравнение и она должна удовлетворять граничным условиям


Slide 12

Практическая задача Докажем, что область отображается на кольцо дробно-линейной функцией: 1.Известно, что дробно-линейная функция обладает круговым свойством. 2.Известно, что при дробно-линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой.


Slide 13

Практическая задача Отобразим область G конформно на круговое кольцо: (рис.2) В кольце получили задачу Дирихле :


Slide 14

Практическая задача. Решение задачи Дирихле Такая функция - гармоническая. Для выполняются граничные условия: 1. 2.


Slide 15

Решение практической задачи Найдем на оси две точки (рис.3) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.


Slide 16

Решение практической задачи Рассмотрим дробно-линейное отображение: Подставим в него : Докажем, что эта функция отображает область на круговое кольцо:


Slide 17

Решение практической задачи – ось . Пусть . Тогда То есть, и, значит, образом оси является окружность .


Slide 18

Решение практической задачи Найдем образ окружности . Ее образом будет окружность с центром в точке . Таким образом область отображается на круговое кольцо. Найдем . Образом точки будет точка, лежащая на окружности . Следовательно:


Slide 19

Решение практической задачи Решение нашей основной задачи имеет вид: Перейдя к переменным и , получим: где


Slide 20

Рассмотрим конкретный пример Пусть a=2, h=4, а T=10. Тогда А график этой функции имеет вид:


Slide 21

Заключение 1. Методом конформных отображений можно решать и другие задачи, базирующиеся на гармонических функциях, переходя конформно к более простому и известному виду. 2. Этим методом можно решать задачи в картографии, электростатике, механике сплошных сред ( гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. )


×

HTML:





Ссылка: