ПОВОРОТ


The Presentation inside:

Slide 0

ПОВОРОТ Пусть теперь в пространстве задана прямая a и точка A, не принадлежащая этой прямой. Через точку A проведем плоскость ?, перпендикулярную прямой a, и точку пересечения a и ? обозначим O. Говорят, что точка A' пространства получается из точки A поворотом вокруг прямой a на угол ?, если в плоскости ? точка A' получается из точки A поворотом вокруг центра O на угол ?. Преобразование пространства, при котором точки прямой a остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг этой прямой (в одном и том же направлении) на угол ? называется поворотом, или вращением. Прямая a при этом называется осью вращения.


Slide 1

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Говорят,что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси a, если точки фигуры Ф получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг оси a. Фигура Ф при этом называется фигурой вращения. При вращении точки A вокруг прямой a получается окружность. Сфера получается вращением окружности вокруг ее диаметра. Аналогично, шар получается вращением круга вокруг какого-нибудь его диаметра.


Slide 2

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Усеченный конус получается вращением трапеции, один из углов которой является прямым, вокруг боковой стороны, прилегающей к этому углу.


Slide 3

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Если окружность вращать вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и не имеющей с этой окружностью общих точек, то полученная поверхность вращения называется тором и по форме напоминает баранку или бублик. При вращении эллипса вокруг его оси получается поверхность, называемая эллипсоидом вращения.


Slide 4

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ При вращении параболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая параболоидом вращения. При вращении гиперболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения.


Slide 5

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Если прямая параллельна оси, то при вращении получается фигура, называемая цилиндрической поверхностью. Если прямая пересекает ось, то при вращении получается фигура, называемая конической поверхностью.


Slide 6

ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ Теорема. При вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения, получается гиперболоид вращения. Доказательство. Пусть a и b - скрещивающиеся прямые, OH - их общий перпендикуляр длины d. Рассмотрим произвольную точку B на прямой b, отличную от H, и опустим из нее перпендикуляр BA на прямую a. При вращении точка B описывает окружность, радиус которой равен AB. Через точку H проведем прямую, параллельную a, и через точку A - прямую, параллельную OH. Точку пересечения этих прямых обозначим C. Пусть расстояние AB равно x, расстояние OA равно y и угол BHC равен ?. Треугольник ABC - прямоугольный, катет AC равен d, катет BC равен y·tg?. Поэтому выполняется равенство x2 = d2 + y2tg2?. Перенеся слагаемое, содержащее y, в левую часть равенства и разделив обе части полученного равенства на d2, получим уравнение , которое представляет собой уравнение гиперболы. При вращении этой гиперболы получается та же самая фигура, что и при вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения. Следовательно, искомой фигурой вращения является гиперболоид вращения.


Slide 7

ВРАЩЕНИЕ КУБА 1 При вращении куба вокруг диагонали получается фигура, поверхность которой состоит из боковых поверхностей двух конусов и гиперболоида вращения.


Slide 8

ВРАЩЕНИЕ КУБА 2 При вращении куба вокруг прямой, соединяющей середины двух противоположных ребер, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и двух гиперболоидов вращения.


Slide 9

ВРАЩЕНИЕ ОКТАЭДРА 1 При вращении октаэдра вокруг прямой, проходящей через две противоположные вершины, получается фигура, поверхность которой состоит из двух боковых поверхностей конусов.


Slide 10

ВРАЩЕНИЕ ОКТАЭДРА 2 При вращении октаэдра вокруг прямой, проходящей через центры двух противоположных граней, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и гиперболоида вращения.


Slide 11

ВРАЩЕНИЕ ИКОСАЭДРА 1 При вращении икосаэдра вокруг прямой, проходящей через две противоположные вершины, получается фигура, поверхность которой состоит из двух боковых поверхностей конусов и гиперболоида вращения.


Slide 12

ВРАЩЕНИЕ ИКОСАЭДРА 2 При вращении икосаэдра вокруг прямой, проходящей через середины двух противоположных ребер, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и четырех гиперболоидов вращения.


Slide 13

Упражнение 1 Какая фигура получается при вращении отрезка OA вокруг прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной OA? Ответ: Круг.


Slide 14

Упражнение 2 Назовите прямые, при вращении вокруг которых данного прямоугольника получается цилиндр. Ответ: Прямые, пересекающие прямоугольник по отрезку, параллельному его стороне.


Slide 15

Упражнение 3 Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, опущенной на основание этого треугольника? Ответ: Конус.


Slide 16

Упражнение 4 Какая фигура получается при вращении полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр? Ответ: Круг.


Slide 17

Упражнение 5 Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет? Ответ: Конус.


Slide 18

Упражнение 6 Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, и проходящей через вершину острого угла перпендикулярно катету?


Slide 19

Упражнение 7 Какая фигура получается вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, перпендикулярной гипотенузе и проходящей через вершину острого угла.


Slide 20

Упражнение 8 Какая фигура получается вращением остроугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его сторону? Ответ: Фигура, состоящая из двух конусов с общим основанием.


Slide 21

Упражнение 9 Какая фигура получается вращением остроугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника и проходящей через его вершину перпендикулярно стороне?


Slide 22

Упражнение 10 Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, прилегающую к тупому углу? Ответ: Фигура, полученная из конуса, вырезанием из него другого конуса.


Slide 23

Упражнение 11 Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника и проходящей через вершину тупого угла параллельно противолежащей стороне? Ответ: Цилиндр с вырезанными внутри двумя конусами, имеющими общую вершину.


Slide 24

Упражнение 12 Какая фигура получается вращением прямоугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого прямоугольника, параллельной его стороне, и не имеющей с ним общих точек?


Slide 25

Упражнение 13 Какая фигура получается вращением трапеции вокруг прямой, содержащей меньшее её основание?


Slide 26

Упражнение 14 Какая фигура получается вращением трапеции вокруг прямой, содержащей большее её основание?


Slide 27

Упражнение 15 Какая фигура получается при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней. Ответ: Цилиндр.


Slide 28

Упражнение 16 Какая фигура получится при вращении правильной n-угольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований? Ответ: Цилиндр.


Slide 29

Упражнение 17 Какая фигура получается при вращении правильной n-угольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту? Ответ: Конус.


Slide 30

Упражнение 18 Какая фигура получается при вращении тетраэдра вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся ребер?


Slide 31

Упражнение 19 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке? Ответ: Показательной функции.


Slide 32

Упражнение 20 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке? Ответ: Синусоиды.


Slide 33

Упражнение 21 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?


Slide 34

Упражнение 22 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?


Slide 35

Упражнение 23 Тетраэдр повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является объединением и пересечением исходного тетраэдра и повернутого?


Slide 36

Упражнение 24 Куб повернут вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, на угол 45о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?


Slide 37

Упражнение 25 Куб повернут вокруг диагонали на угол 60о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?


Slide 38

Упражнение 26 Куб повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?


Slide 39

Упражнение 27 Октаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины, на угол 45о. Какая фигура является общей частью исходного октаэдра и повернутого?


Slide 40

Упражнение 28 Октаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, на угол 60о. Какая фигура является общей частью исходного октаэдра и повернутого?


Slide 41

Упражнение 29 Икосаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины, на угол 36о. Какая фигура является общей частью исходного икосаэдра и повернутого?


Slide 42

Упражнение 30 Додекаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, на угол 36о. Какая фигура является общей частью исходного додекаэдра и повернутого?


×

HTML:





Ссылка: