Масловский Филипп


The Presentation inside:

Slide 0

Масловский Филипп


Slide 1


Slide 2

Исследовать способ вычисления биномиальных коэффициентов с помощью формул комбинаторики. Задачи: 1. Изучить историю возникновения комбинаторики как науки. 2. Определить основные правила и формулы комбинаторики. 3. Рассмотреть свойства расположения биномиальных коэффициентов разложения в треугольнике Паскаля.


Slide 3

В теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. «Поймать случай за хвост» – одно из самых занимательных занятий. Работая над данным исследованием, я прошел путь развития новой для меня науки комбинаторики и нашел применение её законов в формулах алгебры.


Slide 4

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.. Элементы комбинаторики так же были известны в Индии еще во II в. до н. э. Идийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания".


Slide 5

Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве». Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.


Slide 6

В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей. Д. Кардано  Н. Тарталья


Slide 7

Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности. Я. Бернулли


Slide 8

\  Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний: Вильгельм Лейбниц


Slide 9

Для успешного решения комбинаторных задач необходимо знать два правила комбинаторики. Правило 1. Правило суммы. Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта? Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена 150 способами, 2-го сорта может быть извлечена 120 способами. По правилу суммы существует +=150+120=270 способов извлечения. Одной детали 1-го или 2-го сорта.


Slide 10

Правило 2. Правило произведения. Пример. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и физорга. Сколько существует способов это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместитель – любой из оставшихся 29, а физоргом – любой из оставшихся 28 учащихся, т.е. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и физорга равно способов. n1n2…nk=30.29.28=24360 способов.


Slide 11

Формула размещения. Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Пример. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 5 . Число вариантов расписаний, т.е. число размещений из 11 по 5, находим по формуле…


Slide 12

Формула сочетания. Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m.Число сочетаний из элементов по равно. Пример. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле:


Slide 13

Формула перестановки. Если комбинации из n элементов по m отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов по m. Число перестановок из n элементов по m равно Пример. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно? Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число по формуле:


Slide 14

(a+b)n – это произведение n сомножителей, каждый из которых равен a+b. Ясно, что при раскрытии скобок в этом произведении слагаемых an и bn появляются ровно по одному разу, следовательно, в итоговое выражение оба они входят с коэффициентом 1. Это значит, что C0n= Cnn=1 при любом n.


Slide 15

Коэффициенты разложения можно представить в виде треугольника Паскаля, хотя известно она была задолго до 1665 г., когда в печати появилось сочинение Блеза Паскаля«Об арифметическом треугольнике». 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Блез Паскаль


Slide 16

Арифметический треугольник позволяет найти любой биномиальный коэффициент, но при больших значениях n считать придется очень много. Нельзя ли как – то ускорить вычисления? Оказывается можно: Cnk= = Эту формулу и вывел Исаак Ньютон


Slide 17

С помощью этой формулы можно вычислить любой биномиальный коэффициент. Для примера можно посмотреть разложение 10 степени двучлена a+b. (a+b)10=a10+10a9b+45a8b2+120a7b3+210a6b4+252a5b5+210a4b6+120a3b7+45a2b8+10ab9+b10.


Slide 18

Свойства треугольника Паскаля. 1.Каждое число А равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого и до числа, стоящего непосредственно над А.(1+2+3+4+5=15) (Треугольник Паскаля.)


Slide 19

2. Каждое число А равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего и до числа, стоящего непосредственно левее А. (1+2+3+4=10)


Slide 20

3. Если число А уменьшить на 1, то получится сумма всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальным и горизонтальным рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в прямоугольник не включаются). (1+1+1+1+2+3=10-1=9) (Сумма чисел в отмеченных клеточках равна А-1)


Slide 21

В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что подавляющее большинство природных и рукотворных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: номера выигравших билетов в лотереях, результаты спортивных состязаний, состояние погоды, количество солнечных дней в течение года и так далее.


Slide 22


×

HTML:





Ссылка: