Детерминированные сигналы и их математические модели


The Presentation inside:

Slide 0

1 Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть


Slide 1

2 План лекции Введение Цели изучения темы Элементы общей теории сигналов Разложение сигнала по функциям Уолша Спектральное представление периодических сигналов Спектральный анализ сигналов конечной длительности Выводы


Slide 2

3 Введение Теория сигналов является одной из составных частей курса «Теория электрической связи», а рассмотрение такой модели сигнала, как детерминированный сигнал занимает в этой теории центральное место.


Slide 3

4 1. Цели После изучения темы студенты должны иметь представление о системах ортогональных функций и их использовании в теории сигналов способах аппроксимации сигналов знать отличия между спектром периодического и непериодического сигнала связь между временным и частотным представлением сигнала уметь вычислять спектральную плотность детерминированного сигнала определять полосу частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала производить разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 4

5 2. Элементы общей теории сигналов В математической модели описаны те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важные. В зависимости от выбранной математической модели сигналы делятся на: Детерминированные. Описываются классической математикой Случайные. Описываются теорией вероятностей


Slide 5

6 2.1. Классы детерминированных сигналов: произвольные по величине и непрерывные по времени (аналоговые), произвольные по величине и дискретные по времени (дискретные), квантованные по величине и непрерывные по времени (квантованные), квантованные по величине и дискретные по времени (цифровые)  2. Элементы общей теории сигналов


Slide 6

7 Аналоговый Дискретный Квантованный Цифровой s t s t Dt t t s s 010 100 100 100 101 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 7

8 Преимущество дискретных сигналов: отсутствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени. Применение: возможность передачи сообщения от разных источников, многоканальная связь с разделением каналов по времени. 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 8

9 Преимущество цифровых сигналов: отсчетные значения представлены в форме чисел (уровни квантования пронумерованы и отсчёты взяты в определённые моменты времени). Применение: обработка средствами цифровой техники. Недостаток дискретных и цифровых сигналов: наличие ошибок преобразования. 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 9

10 2.2. Описание детерминированных сигналов Прямое - математическая функция Например: x(t) = Acos(wt + f) - кривая на плоскости Например: осциллограмма - таблица Косвенное - алгебраические, дифференциальные и другие уравнения 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 10

11 2.3. Геометрическое представление сигналов Сигнал рассматривается вектор в пространстве 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 11

12 Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если Любой s(t) вещественный для любого t Для любых Для любого u + O = u 2. Элементы общей теории сигналов повторяем математику


Slide 12

13 Система линейно независимых векторов ei образует координатный базис в линейном пространстве. Разложение сигнала по координатному базису Числа ci – проекции сигнала относительно выбранного базиса, координаты. В задачах теории сигналов число базисных векторов часто неограничено. 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 13

14 Энергия сигнала равна квадрату нормы Энергия выделяется на сопротивлении 1 Ом Норма вектора (сигнала) - длина вектора 2. Элементы общей теории сигналов повторяем математику


Slide 14

15 Скалярное произведение вещественных сигналов Скалярное произведение – взаимная энергия сигналов 2. Элементы общей теории сигналов повторяем математику


Slide 15

16 2.4. Ортонормированный координатный базис Векторы (сигналы) ортогональны, если их скалярное произведение равно 0: Вектор нормирован, если его норма равна 1: В гильбертовом пространстве сигналов с конечным значением энергии Н задан ортонормированный базис ui, если 2. Элементы общей теории сигналов повторяем математику


Slide 16

17 2.5. Обобщённый ряд Фурье Разложение произвольного сигнала по ортонормированному базису: Коэффициенты ряда: 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 17

18 2.6. Погрешности разложения в ряд На практике сигналы представляют конечным числом членов ряда. Погрешность представления оценивается энергией отброшенных членов. Обобщённое равенство Парсеваля: При конечном числе членов ряда 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 18

19 Абсолютная погрешность: Относительная погрешность 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 19

20 Таким образом: Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математическую модель Классификация сигналов осуществляется на основании признаков математических моделей Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному пространству Норма – аналог длины вектора Энергия сигнала равна квадрату нормы Сигналы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю Обобщённый ряд Фурье –разложение сигнала по ортонормированному базису 2. Элементы общей теории сигналов


Slide 20

21 3. Разложение сигнала по функциям Уолша Функции Уолша - комбинации прямоугольных импульсов, легко реализуемые средствами цифровой техники Разложение сигнала по функциям Уолша: - функция Уолша k-го порядка.


Slide 21

22 Ф у н к ц и и У о л ш а 3. Разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 22

23 Пример Найти первые два коэффициента в разложении импульса треугольной формы системе функций Уолша s(t) = U0/2 + U0 t/tи, – tи/2 < t < tи/2. 3. Разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 23

24 Перейдём к нормированному времени ? = t/tи s(t) = U0/2 + U0?, – 1/2 < ? < 1 /2. Нулевой коэффициент разложения: (численно равен площади импульса) 3. Разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 24

25 Первый коэффициент разложения 3. Разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 25

26 Таким образом: Ортонормированная система функций Уолша применяется для обработки дискретных сигналов Сигналы, соответствующие функциям Уолша, генерируются с помощью переключательных электронных схем 3. Разложение сигнала по функциям Уолша


Slide 26

27 4.1. Математическая модель периодического сигнала 4. Спектральное представление периодических сигналов Частота w1 = 2p/T -основная частота последовательности


Slide 27

28 Коэффициенты ряда: 4.2. Тригонометрический ряд Фурье В качестве ортонормированного базиса рассматривают функции: 1, cos w1t, sin w1t, cos 2w1t, sin 2w1t, …cos nw1t, sin nw1t, Тригонометрический ряд Фурье: 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 28

29 Другая форма записи тригонометрического ряда Фурье: Коэффициенты ряда: 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 29

30 Спектральная диаграмма - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник, по вертикальной - амплитуды (амплитудная диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма) 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 30

31 Пример Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами Tи, Т, A, чётной относительно точки t=0 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 31

32 Q = T/Tи - скважность последовательности 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 32

33 Амплитудный спектр последовательности импульсов со скважностью Q = 5 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 33

34 Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём C-n = Cn* (* - комплексно-сопряжённое число). Связь между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда: аn = 2 ?Cn ?, fn = arg Cn. 4.3. Комплексный ряд Фурье Ортонормированный базис: … exp(-j2w1t), exp(-jw1t), 1, exp(jw1t), exp(j2w1t),… 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 34

35 Амплитудный спектр последовательности импульсов со скважностью Q = 5 при разложении в комплексный ряд Фурье 4. Спектральное представление периодических сигналов Пример. Разложение в комплексный ряд Фурье прямоугольного импульса


Slide 35

36 Таким образом: Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье с бесконечным числом слагаемых (гармоник) Тригонометрический ряд Фурье содержит гармоники с положительными частотами Комплексный ряд Фурье содержит гармоники с положительными и отрицательными частотами Частоты гармоник кратны основной частоте повторения последовательности Энергия сигнала равна сумме энергий всех гармонических составляющих 4. Спектральное представление периодических сигналов


Slide 36

37 G(jw) -спектральная плотность сигнала s(t). Функции G(jw) и s(t) - две математические модели одного и того же физического процесса: G(jw) отражает частотный состав сигнала, s(t) описывает изменение сигнала с течением времени 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности 5.1. Преобразование Фурье:


Slide 37

38 5.2. Обратное преобразование Фурье: Модуль спектральной плотности - амплитудный спектр Аргумент спектральной плотности - фазовый спектр. Энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности. ?S(w)? 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1Гц. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 38

39 5.3. Свойства преобразования Фурье Свойство линейности Дифференцирование сигнала Интегрирование сигнала 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности повторяем математику


Slide 39

40 Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия) Смещение по времени (теорема запаздывания) Умножение изображений (теорема свёртывания) повторяем математику 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 40

41 Пример. Спектральная плотность прямоугольного импульса длительностью Т и амплитудой А. A, - T/2 < t < t/2, s(t) = 0, t < -T/2, t > T/2. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 41

42 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 42

43 5.4. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра Чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр Dwtи ~ 1 Ширина спектра Dw– частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности изменяется в пределах от ?Gmax(jw) ? 0,1 ?Gmax(jw) ? 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 43

44 5.5. Условие существования спектральной плотности Сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S(w), если этот сигнал абсолютно интегрируем, то есть существует интеграл В ряде случаев возможно определение спектральных плотностей неинтегрируемых сигналов. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 44

45 5.6. Спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов Спектральная плотность гармонической функции s (t) = cos (?0t) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 45

46 Спектральная плотность ?-функции s(t) = d(t): 0 w s(t) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 46

47 Спектральная плотность постоянного во времени сигнала s(t) = А 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 47

48 Спектральная плотность радиоимпульса где GA(jw) - спектральная плотность огибающей A(t). 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 48

49 5.7. Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности s1(t) ? G1(jw), спектр сплошной s2(t) ? G2(jw), спектр линейчатый При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т


Slide 49

50 При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом. С увеличением Т спектральные линии сближаются, коэффициенты Сn уменьшаются и в пределе приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью G1(jw). 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 50

51 Таким образом: В частотной области непериодический сигнал (сигнал конечной длительности) характеризуется спектральной плотностью Сигнал и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье Для существования спектральной плотности необходима абсолютная интегрируемость сигнала 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности


Slide 51

52 Выводы Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели Классификация сигналов осуществляется на основе их моделей. Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису – обобщённый ряд Фурье Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов ряда Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье Непериодические сигналы имеют спектральную плотность, связанную с сигналом преобразованием Фурье


×

HTML:





Ссылка: