Перпендикулярность прямой и плоскости


The Presentation inside:

Slide 0

Перпендикулярность прямой и плоскости


Slide 1

Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ?b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся


Slide 2

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой Дано: а ?b и а ? с. Доказать: b ? c. Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ?с, то ?АМС =90° Т.к. а ?b , а ? МА, то b ? МА. Итак, b ? МА, с ? МС, ? АМС = 90°, т. е. b ? c. Лемма доказана.


Slide 3

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости ? обозначается так: а ? ?.


Slide 4

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ¦а1 , а ? ?. Доказать: а 1¦ ? Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости ?. Так как а перпендикулярна ?, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ?, т.е. а1 перпендикулярна ?. Теорема доказана.  


Slide 5

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: a ??,b ?? (а) Доказать : a ¦ b . Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ??. Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ¦ b .Допустим ,что прямые b и b1 не совпадают .Тогда в плоскости ?,содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости ? и ? (б).Но это невозможно, следовательно, a¦b. Теорема доказана.


Slide 6

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ?р, а ?q, р и q лежат в плоскости ?. р ?q = О. Доказать: а + ? Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости ? прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ?АРQ= ?ВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны ?АРL= ?ВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ?АВL-равнобедренный и l ?а. Т.к. l ¦m, l ? а, то m ?а. Итак а ? ?. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ¦а. По лемме а1 ? р и а1 ? q, поэтому а1 ? ?. Отсюда, а ? ?. Теорема доказана.


Slide 7

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство: Данную плоскость обозначим ?, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. Проведем в плоскости ? произвольную прямую а и рассмотрим плоскость?, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости ? и ?. В плоскости ? через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой b. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости ?, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ?b по по построению и с ?а, так как (? ? ?). 2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости ?. Тогда с1 ¦ с , что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости?. Теорема доказана.


Slide 8

Авторы: Александрова Аня 10Б Васильева Катя 10Б Васильева Надя 10Б Гаврилова Настя 10Б Егорова Люда 10Б Научный консультант : учитель математики СОШ №6 г.Чебоксары Маркова З.Г. 2008г


×

HTML:





Ссылка: