ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


The Presentation inside:

Slide 0

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Работа ученицы 11 А класса Ильиной Ксении


Slide 1

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где a - действительное число.


Slide 2

К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|?1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2?n, Если |a|?1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1)n arcsina+?n, или, что то же самое, x=arcsina+2?k, x=?-arcsina+2пk; Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений.


Slide 3

Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+?n; Особо важны частные случаи: sinx=0, x=?n; sinx=1, x=?/2+2?n; sinx=-1, x=-?/2+2?n; cosx=0, x=?/2+?n; cosx=1, x=2?n; cosx=-1, x=?+2?n. Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (n€Z, k€Z).


Slide 4

К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.


Slide 5

Пример 1. Решить уравнения: a) sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+?n, имеем arcsin1/2=?/6. Значит, 2x=(-1)n ?/6+?n; x=(-1)n ?/12+?n/2. б) cos3x=-v2/2; Решения уравнения имеют вид: x=±arccosa+2?n, если a>0, но помним, что |a|?1. Для нашего примера: 3x=±arccos(-v2/2) +2?n, 3x=±(?-arccosv2/2)+2?n, 3x=±(?-?/4)+2?n, 3x=±3?/4+2?n, x=±?/4+2?n/3, где n€Z


Slide 6

в) tg(4x-?/6)= v3/3. 4x-?/6=arctgv3/3+?n; arctgv3/3=?/6. 4x-?/6=?/6+?n; 4x=?/6+?/6+?n, 4x=?/3+?n, x=?/12+?n/4, где n€Z.


Slide 7

Пример 2. Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; ?]. Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin2x=1/2 2x=(-1)n arcsin1/2+?n, 2x=(-1)n ?/6+?n; x=(-1)n ?/12+?n/2. Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.


Slide 8

Если n=0, то x=(-1)0 ?/12+0=?/12, ?/12 € [0; ?]. Если n=1, то x=(-1)1 ?/12+?/2 =-?/12+?/2=5?/12, 5?/12 € [0; ?]. Если n=2, то x=(-1)2 ?/12+?=?/12+?=13?/12, 13?/12 € [0; ?]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n=3,4,… .


Slide 9

Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1)-1?/12-?/2= -?/12-?/2= -7?/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; ?]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n= -2,-3,… .


Slide 10

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений. -7?/12 ?/12 5?/12 13?/12 0 ? Итак, заданному отрезку [0; ?] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1. Эти корни таковы: ?/12, 5?/12. Ответ: ?/12; 5?/12.


×

HTML:





Ссылка: