Математический анализРаздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей)


The Presentation inside:

Slide 0

Лектор Янущик О.В. 2012 г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей)


Slide 1

§2. Числовые последовательности 1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью называется перенумерованное множество (чисел – числовая последовательность, функций – функциональная последовательность и т.д.) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.


Slide 2

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: xn, yn и т.д. Называют: x1 – первый член последовательности, x2 – второй член последовательности и т.д. xn – n-й (общий) член последовательности. Способы задания последовательностей: 1) явно (т.е. формулой xn = f(n) ) 2) рекуррентным соотношением (т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) ) Записывают последовательность: { x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись; { xn } – короткая запись (где xn  – общий член)


Slide 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { xn } называется ограниченной снизу, если ?a?? такое, что a ?  xn , ?n??; ограниченной сверху, если ?b?? такое, что  xn ?b , ?n??; ограниченной, если ?a,b?? такие, что a ? xn ?b , ?n?? Замечание. Условие «?a,b?? такие, что a ? xn ?b » равносильно условию «?M>0 такое, что | xn | ? M » возрастающей (неубывающей), если xn < xn+1 (xn ? xn+1),  ?n??; убывающей (невозрастающей), если xn > xn+1 (xn ? xn+1),  ?n??; Замечание. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными.


Slide 4

2. Предел последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a?? называется пределом последовательности { xn } если ??>0 ?N?? такое, что | xn – a | <? , ?n>N. Записывают: Говорят: последовательность { xn } сходится (стремиться) к a. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к a) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.


Slide 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r??, M(r)?Ox Пусть x0??, ?>0. Интервал (x0 – ?; x0 + ?) называют ?-окрестностью точки x0. (геометрическое определение ?-окрестности точки) Будем обозначать: U(x0, ?) Имеем: U(x0, ?) = {x?? |  |x – x0| < ?} (алгебраическое определение ?-окрестности точки) Из определения предела последовательности получаем: если {xn}?a , то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ?-окрестности точки a находятся все члены последовательности {xn}, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности). !


Slide 6

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости. 2) Последовательность может иметь не более одного предела ДОК-ВО – самостоятельно 3) Если { xn } ? a , то { |xn| } ? |a| . ДОК-ВО – очевидно, в силу | |xn| – |a| | ? |xn – a| . 4) Сходящаяся последовательность ограничена ДОК-ВО


Slide 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой. 5) ЛЕММА 1 (о роли б.м. последовательностей). Число a?? является пределом последовательности {xn} ? xn= a + ?n, где {?n} – бесконечно малая. ДОК-ВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно последовательности { xn+ yn }, { xn– yn}, { xn ? yn }, . Последовательность {cxn} называется произведением {xn} на число c (произведение последовательностей {xn} и {c})


Slide 8

6) Пусть {xn} – ограничена, {?n} – бесконечно малая. Тогда {xn ? ?n} – бесконечно малая. ДОК-ВО . 7) Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся и Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже являются сходящимися последовательностями, причем (доказать самостоятельно)


Slide 9

СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Если {xn} сходится к a, то ?c?? последовательность {cxn} тоже сходится, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела» 8) Пусть {xn} ? a  и xn ? 0 (или xn > 0), ?n??. Тогда a ? 0. ДОК-ВО – самостоятельно. 9) Пусть {xn} и {yn} – сходящиеся последовательности и xn? yn (xn < yn) ), ?n??. Тогда ДОК-ВО – следствие свойства 8.


Slide 10

10) ЛЕММА о двух милиционерах. Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся к одному и тому же числу и ?n?? имеет место неравенство xn ? zn ? yn  , ?n??. Тогда последовательность {zn} тоже сходится, причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО


Slide 11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a?? называется пределом после- довательности { xn} если ??>0 ?N?? такое, что | xn – a | <? , ?n>N. !


×

HTML:





Ссылка: