Решение заданий С2 по материалам ЕГЭ 2012 года (Часть 3)


The Presentation inside:

Slide 0

Решение заданий С2 по материалам ЕГЭ 2012 года (Часть 3) МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Учитель математики Е.Ю. Семёнова


Slide 1

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1. Задача №1 1 А С В D А1 С1 В1 1 Решение. Продлим плоскость ВСС1, тогда искомый угол – AВ1D, т. к. и C1В и B1D параллельны. Найдем его из ?AB1D по теореме косинусов. Ответ: 1/4 .


Slide 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A1F1. Задача №2 Решение. Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, прямые AC и AF перпендикулярны. Поскольку прямые FA и F1A1 параллельны, то CA?A1F1. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA1?A1F1, так что длина отрезка CA1 равна искомому расстоянию. Ответ: 14. 11


Slide 3

Решение. Так как ABCD – квадрат, то прямые АВ ? AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет перпендикулярна AD. Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD. Задача №3 С В D А S O M N ?SMO – искомый угол, косинус которого найдем из п/у ?SMO


Slide 4

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ВСC1. Задача №4 С В D А1 С1 В1 D1 А Решение. Проекцией прямой АС1 на данную плоскость является прямая ВС1, так как AB?(ВCС1), а значит AB?ВС1; т.е. ?АВC1 – п/у. Значит, искомый угол – ?AС1В


Slide 5

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1, стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью BDD1. O 3 4 Задача №5


Slide 6

Решение. Прямая AN является проекцией прямой AS на плоскость основания. Поэтому проекция точки М – точка Н лежит на отрезке AN. Значит угол ?MNH – искомый. МН – средняя линия ?SAO, тогда NH = АО = R = = = 24. Ответ: arctg 7/48. H Задача №6


Slide 7

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АВС и BED1. Задача №7 С В D А1 С1 В1 D1 E 5 1 А M P 3 2 Решение. Плоскости BED1 и АВС пересекаются по прямой PB. Линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями является угол АМЕ. Стороны данного угла – высоты ?ВЕР и ?AВР. Значит, угол ?АMЕ – искомый. ?РDD1 ~ ?РAE (по углам) ? АР = 2, тогда РВ = v5, АМ = (АР·АВ)/ РВ = 2/v5. В п/у ?AМЕ tg ?АMЕ = AE/AM tg ?АMЕ = v5 ??АMЕ = arctg v5. 1


Slide 8

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями АВ1С1 и А1В1С. Задача №8 С В D А1 С1 В1 D1 А Решение. Плоскости АВ1С1 и А1В1С пересекаются по прямой B1D. Линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями является угол А1ОС1.Стороны данного угла – высоты равных ?DС1B1 и ?DA1В1. Значит, угол ?A1OС1 – искомый. Пусть АВ = а, тогда B1D = av3, А1D = DC1 = A1C1 = av2, OC1 = OA1 = = (А1B1 · DA1)/ DВ1 = av6/3. В р/б ?A1OC1 по теор. косинусов cos?A1OC1 = (A1О2 + C1О2 –А1C12) / / (2А1О · C1О) = ? 0,5 ? O а а ?A1OC1 = 120?, значит, угол между плоскостями смежный с данным углом. Искомый угол равен 180? – 120? = 60?.


Slide 9

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР : РВ1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР. 20 А С В А1 С1 В1 24 Ответ: 1/2 . Задача №9 Р Н 16 16 Решение. Поскольку (АВС)?(А1В1С1), то углом между плоскостями А1В1С1 и АСР можно считать угол между (АВС) и (АСР). Т.к. ВН?АС (высота р/б ?), то по теореме о трех перпендикулярах РН?АС. Тогда ?РНВ – линейный угол двугранного угла РАСВ. Найдем его из п/у ?РНВ. РВ = ? ВВ1 = ? · 24 = 6, ВН2 = АВ2 – АН2 ВН2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12; tg?РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5. 32


Slide 10

Решение. Поскольку (АВС)?(А1В1С1), то углом между плоскостями А1В1С1 и BD1F1 можно считать угол между (А1В1С1) и (BD1F1). Т.к. В1E1?F1D1 (в правильном шестиугольнике), то по теореме о трех перпендикулярах ВР? F1D1. Тогда ?BРВ1 – линейный угол двугранного угла BF1D1В1. PB1 – высота р/с ?В1F1D1, сторона которого равна v3, значит PB1 = 1,5. tg?BРВ1 = BB1/PB1 = 1/1,5 = 2/3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и BD1F1. Задача №10 Ответ: 2/3. 1 P


Slide 11

Решение. (1 способ) Искомое расстояние равно высоте АН, опущенной в пирамиде АКМN из вершины А на основание КМN. D C B A N F М К Р Н Задача №10


Slide 12

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 2?5, АВ = АС = 10, ВС = 4?5. D C B A N F М К Р Решение. (2 способ) Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN)?(BCD) и KF – средняя линия ? ADP. L Н Ответ: 2. Задача №10


Slide 13

А С В D M N 10 6 В пирамиде DABC известны длины ребер: АВ = АС = DВ = DС = 10, BC = АD = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС. Аналогично, и с ? DBC: DN является в нем медианой и высотой. А потому ВС?АN и ВС?DN, а значит, ВС?(ADN), следовательно, и любой прямой в этой плоскости. Таким образом, MN?ВС. Так как ? АВС = ? DBC, то АN = DN = 8, а поэтому MN – медиана и высота в р/б ? АDN, а потому MN?AD. Значит, MN – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым. Используя теорему Пифагора, получаем, что MN2 = AN2 – AM2 = 64 – 36 = 28, MN = 2?7 Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, как длину их общего перпендикуляра. Так как АВ = АС, то ? АВС – р/б и медиана АN одновременно является и высотой. 6 10 6 6 Задача №11


Slide 14

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 3?10/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC. Задача №12 Решение. Поскольку плоскость проведена через прямую ВМ параллельно диагонали АС, то ей принадлежит и прямая, параллельная AC и проходящая через точку M (назовём её MN). Таким образом, нам нужно найти угол между плоскостями SAC и BMN, пересекающимися по прямой MN. По условию, пирамида SABCD – правильная, а значит, высота SO делит диагонали основания пополам. Кроме того, точка N делит ребро SC пополам, ? BM = BN, а точка P делит пополам отрезки MN и SO. B D A N М О S С 3 P


Slide 15

P Решение. Отрезок BP?MN (BP ? (BMN)), отрезок OP?MN (OP ? (SAC)). Поэтому угол между плоскостями – это ?BPO, который мы найдём из п/у ? BPO. BO = AO = 3?10/5 · ?2/2 = 3?5/5. PO = ? SO (в п/у ? ASO) SO2 = AS2 – AO2 = 9 – 9/5 = 36/5, PO = 3?5/5. То есть, BO = PO, а значит, ? BPO не только п/у, но и р/б, ? ?BPO = 45?. В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 3?10/5. Длины всех боковых ребер 3, точка М – середина ребра AS. Через прямую ВМ параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определите величину угла (в градусах) между этой плоскостью и SAC. Задача №12 B D A N М О S С 3 Ответ: 45?.


Slide 16

В нем SM2 = SA2 – AM2 = 49 – 16 = 33 В р/б ? МSN SO – также медиана. Значит, MO = 2. O Решение. Искомое сечение – р/б ?MSN, SO – его высота, проведенная к основанию MN. MN – средняя линия ?ABC ? MN = 4. Рассмотрим р/б ?BSA. M N В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8. S Задача №13 C A В 4 7 4


Slide 17

Решение. Плоскости (BDD1) и (AD1B1) имеют общую прямую D1B1 . Проведем AH?D1B1 и AM?BD. Прямая HM (проекция прямой AH на плоскость (BDD1). Значит, D1B1?HM (по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах). ? ?AHM ? линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями (BDD1) и (AD1B1). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB = 5 , AD = 12 , CC1 = 3. Найдите угол между плоскостями (BDD1) и (AD1B1). Задача №14 С D B А1 С1 D1 B1 12 А Н 3 5 М


Slide 18

Решение. ? BAD – п/у. Площадь ?BAD равна: S?BAD = ? AD? AB. С другой стороны, S?BAD = ? AМ? BD. Отсюда, АМ = (AD? AB)/BD, т.е. BD = v52 + 122 = 13; АМ = (12? 5)/13 = 60/13. ? AМН – п/у, ? tg?AHM = AM/HM = 20/13. Откуда ?AHM = arctg 20/13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB = 5 , AD = 12 , CC1 = 3. Найдите угол между плоскостями (BDD1) и (AD1B1). Задача №14 Ответ: arctg 20/13. С D B А1 С1 D1 B1 12 А Н 3 5 М


Slide 19

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р – середина ребра ВВ1. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA1. Для самостоятельного решения


×

HTML:





Ссылка: