Формулы для вычисления площадей различных треугольников


The Presentation inside:

Slide 0

Формулы для вычисления площадей различных треугольников .


Slide 1

Ответить на вопросы: 1. Перечислите элементы треугольника. 2. Назовите виды треугольников по углам. 3. Назовите виды треугольников по сторонам. 4. Какой треугольник называется равно бедренным? 5. Какой треугольник называется равносторонним?


Slide 2

Найдите ошибки в тексте: Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками. Среди треугольников особенно выделяется равнобедренный треугольник. Если в нем провести любую биссектрису, она будет являться медианой и высотой.


Slide 3

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см *1см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Решение: Ответ: 6


Slide 4

Площадь любого треугольника. А a B C D ha Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту.


Slide 5

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Решение: Ответ: 20


Slide 6

Площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. b a


Slide 7

Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то площадь такого треугольника можно найти, как половина произведения двух сторон на синус угла между ними. ? a b


Slide 8

3. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол ?= 30°. Найти площадь треугольника 3 4 300 Решение: Ответ: 3


Slide 9

4. Дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найти его площадь. Решение:


Slide 10

Площадь равностороннего треугольника a - сторона треугольника а а а


Slide 11

Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону. Задача : дан равносторонний треугольник со стороной a= 2 см. Найдите площадь Решение:  Ответ:


Slide 12

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a,b,c: Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э.


Slide 13

I формула Герона b с a Где


Slide 14

Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. Пусть AH — указанная высота треугольника ABC  со сторонами  BC = 15, AC = 14, AB = 13. А В С Н По формуле Герона S =   = = 7 . 3 . 4 = 84. = С другой стороны,  Откуда находим, что Ответ: 11,2 Решение:


Slide 15

c b a II формула Герона


Slide 16

Найти площадь треугольника со сторонами Решение: Задача: А В С


Slide 17

Площадь треугольника через r-радиус вписанной окружности. Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А B C O r a b с


Slide 18

Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности. A B C O R


Slide 19

В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C  равен 900. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей Решение: Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник: По теореме Пифагора: Найдём площадь: Таким образом: Ответ: 1 и 2,5 4 3


Slide 20

Задача : Вычислите площадь данного треугольника. Решение: Sпрямоугольника = 6*5 = 30 , S1= ? *5*2 = 5 , S2 = ? *4*2=4 S3=?*6*3 = 9 Тогда Sтр = Sпр - S1 - S2 - S3 = =30 – 5 – 4 – 9 = 12 Ответ:12 Если треугольник будет иметь другое расположение, то основание и высоту в таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади. Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника. . S1 S3 S2


Slide 21

Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика: , где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах), В – количество узлов внутри треугольника. Г = 12, В = 10 Получаем S=12/2+10-1=15 Ответ: 15 Формула Пика о о о о о о о о о о


Slide 22

В = 10, Г = 6. S = 10 + 6/2 – 1 = 12 . Ответ: 12 Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае! Попробуем решить задачу с помощью формулы Пика:


Slide 23

Георг Алекса?ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.


Slide 24

В = 10 Г = 7 10 + 7/2 – 1 = 10 + 3,5 – 1 = = 12,5 Ответ: 12,5 Применим формулу Пика для вычисления площадей других многоугольников.


Slide 25

Г = 8 В = 1 S = 1 + 8|2 – 1 = 1 + 4 – 1 = 4 Ответ: 4 Формула Пика позволяет вычислить площадь даже такого многоугольника.


Slide 26

Г = 7 В = 5 S = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3,5 – 1 = = 7,5 Ответ: 7,5 Ещё один пример:


Slide 27

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге: 1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/2 - 1 . 2. Формула Пика очень проста для запоминания. 3. Формула Пика очень удобна и проста в применении. 4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.


Slide 28

Площадь треугольника в системе координат Найти площадь треугольника АВС если, А(0;6) B(4;-2) C( 2;18) Из построения видно, что треугольник АВС разносторонний, и ни одна из высот не параллельна оси координат. Найдем площадь треугольника по II формуле Герона.. Как мы видим здесь очень громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. Тогда встает вопрос . А нет ли какой-нибудь формулы попроще, чтоб посчитать площадь треугольника в прямоугольной системе координат? И вот эта формула.


Slide 29

Применим эту формулу к нашему примеру. Пусть вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А( х1; у1), В (х2; у2), С( х3; у3) А(0;6) B(4;-2) C( 2;18)


Slide 30

Задача: А(0;0), В(5:7), С(4:-2). Найти площадь треугольника. Отв.19. Решение:


Slide 31

Десять формул для нахождения площадей различных треугольников.


Slide 32

Интернет-ресурсы Сайт http://www.webmath.ru Вычисление площади треугольника Формула площади треугольника, онлайн сервис для расчета площади треугольника. Нахождение площади треугольника 7-ю методами, всего за несколько секунд Вы найдете площадь треугольника.


×

HTML:





Ссылка: