Дифференциальное исчисление


The Presentation inside:

Slide 0

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Дифференциальное исчисление Задача 2. Пусть ?(t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. В момент времени t+?t количество вещества будет ?(t+?t), т.е. за промежуток времени (t, t+?t) количество прореагировавшего вещества ?? = ? (t + ?t) – ? (t). Средняя скорость химической реакции за интервал времени ?t будет равна ?? /?t. Чтобы найти скорость химической реакции в данный момент времени t надо устремить ?t к нулю, то есть Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет скорость химической реакции.


Slide 1

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo 0 y x x f (x) y=f (x) x + ?x ? x f (x + ?x) ?y


Slide 2

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Производная функции Определение. Если существует предел отношения приращения функции ?f(x) к приращению аргумента ?x, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции в точке x . Обозначения: y?, f ?(x) или , . Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.


Slide 3

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Физический смысл производной Производная характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента (скорость процесса в любой момент времени). С геометрической точки зрения дифференциру-емость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.


Slide 4

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Геометрический смысл производной


Slide 5

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Касательная и нормаль Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0 ) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0. Уравнение касательной к графику функции в точке М0(x0, y0): . Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью. Уравнение нормали к графику функции в точке М0(x0, y0):


Slide 6

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Односторонние производные Определение. Если функция y = f (x) определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0 и существует то он называется производной от функции в точке x0 слева, а производной в той же точке справа.


Slide 7

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке) Функция y = f (x) имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем . Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке) Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.


Slide 8

Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег.№ 283 от 25.11.2009 Company Logo Правила дифференцирования Теорема 3. Пусть f (x) и g (x) ? дифференцируемые функции и с ? константа, тогда справедливы соотношения 1. [c ? f (x)]? = c? f ?(x) . 2. [ f (x) ? g (x) ]? = f ?(x) ? g? (x) . 3. [ f (x) ? g (x) ]? = f ?(x) ? g (x) + f (x) ? g? (x) . 4.  .


Slide 9

Спасибо за внимание


×

HTML:





Ссылка: