Основи алгоритмізації та програмування


The Presentation inside:

Slide 0

Основи алгоритмізації та програмування Тема 2. Системи числення (6 годин) Уроки 11-16


Slide 1

Зміст Поняття системи числення 11 Системи числення в ОТ 12 Математичні операції у різних СЧ 13 Алгоритми переводу чисел із однієї СЧ в іншу 14 Вправи з переводу чисел із однієї СЧ в іншу 15 Контрольна робота № 2 16


Slide 2

Поняття системи числення (СЧ) Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення. Найпростіша СЧ - УНАРНА, в якій використовується всього 1 символ (паличка, вузлик, карб, камінчик, тощо) 11


Slide 3

Класифікація систем числення Кількісне значення кожної цифри числа залежить від того, в якому місці (позиції або розряді) записана та або інша цифра. 0,7 7 70 Кількісне значення кожної цифри числа не залежить від того, в якому місці (позиції або розряді) записана та або інша цифра. XIX 11


Slide 4

Непозиційні системи числення Римська система числення 11


Slide 5

Непозиційні системи числення Алфавітна система числення Для запису чисел використовувався буквений алфавіт. У слов'янський системі над буквою, що позначає цифру, ставився спеціальний знак - «титло». Слов'янська система числення збереглася в богослужебних книгах. Алфавітна система числення була поширена у древніх вірмен, грузин, арабів, євреїв і інших народів Близького Сходу. 11


Slide 6

Недоліки непозиційної СЧ Для запису великих чисел необхідно вводити нові цифри (букви). Важко записувати великі числа. Не можна записувати дробові і від’ємні числа. Немає нуля. Дуже складно виконувати арифметичні дії. 11


Slide 7

Позиційні СЧ – історія «Думка - виражати всі числа небагатьма знаками, надаючи їм значення формою, ще значення по місцю, настільки проста, що саме із-за цієї простоти важко оцінити, наскільки вона дивна» Пьер Симон Лапласс Перша позиційна система числення була придумана ще в Древньому Вавілоні, причому вавілонська нумерація була шестидесяткова, тобто в ній використовувалося шістдесят цифр! 11


Slide 8

Позиційні СЧ – історія Використовуватись десяткова система числення спочатку в Давньому Єгипті і Вавілоні. Її формування було завершено індійськими математиками в V-VII ст. н.е. Араби перші познайомилися з цією нумерацією і по гідності її оцінили. У XII столітті арабська нумерація чисел поширилася по всій Європі. 11


Slide 9

Позиційні СЧ - сучасність Зараз використовуються десяткова, двійкова, вісімкова, шістнадцяткова, тощо Наприклад, для запису чисел використовується десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Таку систему називають десятковою системою числення. У числі 555 перша 5 стоїть у позиції сотень, друга 5 - у позиції десятків, третя 5 - у позиції одиниці (555=500+50+5). 11


Slide 10

Алфавіт і основа позиційної СЧ 11 Кількість різних символів, використовуваних для зображення числа в позиційних системах числення, називається основою системи числення. Позиції цифр називаються розрядами. Основа системи числення показує в скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число не менше 2.


Slide 11

Запис чисел в позиційній СЧ Запис чисел в кожній з систем числення з основою q означає скорочений запис виразу an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m , де ai - цифри системи числення, n і m - число цілих і дробових розрядів відповідно 11


Slide 12

Подання перших чисел у деяких СЧ 11 У будь-якій системі числення натуральні числа, менші основи q, представляються за допомогою однієї цифри даної системи. Якщо число більше або рівне q, то потрібний дві і більш за цифри.


Slide 13

Позиційні СЧ - переваги Обмежена кількість символів для запису чисел. Простота виконання арифметичних операцій. 11


Slide 14

Завдання для закріплення Завдання 1 . Переведіть числа з римської системи числення в десяткову - LXXXVI. XLIX. CMXCIX. Запишіть десяткові числа в римській системі числення - 464, 390, 2648. Де в даний час використовується римська система числення. Завдання 2 . Запишіть в алфавітній системі числення - 365, 413. Завдання 3. Скільки і яких потрібний цифр для запису будь-якого числа в - п'ятірковій системі числення, у вісімковій системі числення, в шістнадцятковій системі числення. Завдання 4. Вкажіть які числа записані з помилками. Відповідь обґрунтуйте. 1567; 3005,234; 185,7948; 11022; 1345,526; 112,0113; 16,5455. Завдання 5. Як зміниться число 2456, якщо справа до нього дописати нуль? 11


Slide 15

Завдання для закріплення Завдання 6 . Заповніть таблицю для q=6 Завдання 7 . Запишіть в розгорнутій формі числа: 7764,18= 2430,435= 3AF,1516= Завдання 8. Запишіть число в десятковій системі числення: 110112=……, 423,15=……, 5А,12116=……. 11


Slide 16

Системи числення в ОТ Комп'ютери використовують двійкову систему оскільки: для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами; подання інформації за допомогою лише двох станів надійне і перешкодостійке; можливе використання апарату булевої. алгебри для виконання логічних перетворень; двійкова арифметика набагато простіше десятковою. Двійкова система, зручна для комп'ютера, для людини незручна із-за її громіздкості і незвичного запису. Для того, щоб розуміти слово комп'ютера, розроблені вісімкова і шістнадцяткова системи числення. Числа в цих системах вимагають в 3/4 разу менше розрядів, чим в двійковій системі. 12


Slide 17

Відповідність систем числення 12


Slide 18

Завдання для закріплення Завдання 1 . Продовжіть таблиці до 25 12


Slide 19

Подання чисел в комп'ютері Числа в комп'ютері можуть зберігатися в форматі з фіксованою комою - цілі числа і у форматі з плаваючою комою - речові числа. Цілі числа без знака займають у пам'яті один або два байти. Цілі числа зі знаком займають у пам'яті комп'ютера один, два або чотири байти, при цьому самий лівий (старший) розряд містить інформацію про знак числа. Застосовуються три форми запису (кодування) цілих чисел зі знаком: прямий код, зворотний код і додатковий код. Речові числа зберігаються і обробляються в комп'ютері у форматі з плаваючою комою. Цей формат базується на експоненційній формі запису, в якій може бути подано будь-яке число. 12


Slide 20

Подання цілих чисел в комп'ютері Цілі числа в комп'ютері можуть представлятися зі знаком або без знаку. Цілі числа без знака займають у пам'яті один або два байти. 12 Приклад. Число 7210 = 10010002 в однобайтовому форматі


Slide 21

Подання цілих чисел зі знаком в комп'ютері Цілі числа зі знаком займають у пам'яті комп'ютера один, два або чотири байти, при цьому самий лівий (старший) розряд містить інформацію про знак числа. Знак «плюс» кодується нулем, а "мінус" - одиницею 12


Slide 22

Подання додатних цілих чисел в комп'ютері У комп'ютерній техніці застосовуються три форми запису (кодування) цілих чисел зі знаком: прямий код, зворотний код і додатковий код. Додатні числа в прямому, зворотному і додаткових кодах зображуються однаково - двійковими кодами з цифрою 0 у знаковому розряді. 12 Приклад. Число 6210 = 1111102 в однобайтовому форматі. Знак числа


Slide 23

Подання від’ємних цілих чисел в комп'ютері – прямий код Від’ємні числа в прямому, зворотному і додатковому кодах мають різне подання. Прямий код. У знаковий розряд поміщається цифра 1, а в розряди цифрової частини числа - двійковий код його абсолютної величини. 12 Приклад. Число -5710 = -1110012 в однобайтовому форматі. Знак числа


Slide 24

Подання від’ємних цілих чисел в комп'ютері – зворотний код Для утворення зворотного коду від’ємного двійкового числа необхідно в знаковому розряді поставити 1, а в цифрових розрядах одиниці замінити нулями, а нулі - одиницями. 12 Приклад. Число -5710 = -1110012 в однобайтовому форматі. Знак числа


Slide 25

Подання від’ємних цілих чисел в комп'ютері – додатковий код Додатковий код від’ємного двійкового числа утворюється отриманням зворотного коду з наступним додаванням одиниці до його молодшого розряду. Від’ємні цілі числа при введенні в комп'ютер автоматично перетворюються у зворотний або додатковий код і в такому вигляді зберігаються, переміщуються і беруть участь в операціях. При виведенні таких чисел з комп'ютера відбувається зворотне перетворення у від’ємні цілі числа 12 Приклад. Число -5710 = -1110012 в однобайтовому форматі. Знак числа


Slide 26

Подання дійсних чисел в комп'ютері Будь-яке число N у системі числення з основою q можна записати у вигляді N = m • qp, де М називається мантиссой числа, а р - порядком. Такий спосіб запису чисел називається поданням числа з плаваючою точкою. Мантиса повинна бути правильним дробом, перша цифра якого відмінна від нуля. Дане подання дійсних чисел називається нормалізованим. Мантиссу і порядок числа з основою q записують в системі числення з основою q, а саму основу - в десятковій системі. 12


Slide 27

Формати дійсних чисел 12


Slide 28

Формат подання дійсних чисел 12 знак числа знак порядка порядок мантисса При зберіганні числа з плаваючою точкою відводяться розряди для мантиси, порядку, знака числа і знака порядку.


Slide 29

Приклад подання додатних дійсних чисел 12 Число 6,2510 записати в нормалізованому вигляді в чотирьохбайтовому форматі з сьома розрядами для запису порядка 6,2510 = 110,012 = 0,11001 • 211


Slide 30

Приклад подання від’ємних дійсних чисел 12 Число -0,12510 записати в нормалізованому вигляді в чотирьохбайтовому форматі з сьома розрядами для запису порядка -0,12510 = -0,0012 = 0,1 • 210 (від’ємний порядок записано в додатковому коді)


Slide 31

Арифметичні операції в позиційних системах числення Правила виконання основних арифметичних операцій в будь-якій позиційній системі числення підкоряються тим же законам, що і в десятковій системі. При додаванні цифри підсумовуються за розрядами, і якщо при цьому виникає переповнення розряду, то проводиться перенесення в старший розряд. Переповнення розряду настає тоді, коли величина числа в ньому стає рівною або більшою основи системи числення. При відніманні з меншої цифри більшої в старшому розряді займається одиниця, яка при переході в молодший розряд буде дорівнює основі системи числення. 13


Slide 32

Арифметичні операції в позиційних системах числення Якщо при множенні однозначних чисел виникає переповнення розряду, то в старший розряд переноситься число кратне основі системи числення. При множенні багатозначних чисел в різних позиційних системах застосовується алгоритм перемноження чисел в стовпчик, але при цьому результати множення і додавання записуються з урахуванням основи системи числення. Ділення в будь - якій позиційній системі проводиться за тими ж правилами, як і ділення кутом в десятковій системі, тобто зводиться до операцій множення і віднімання. 13


Slide 33

Додавання в позиційній СЧ 13


Slide 34

Віднімання в позиційній СЧ 13


Slide 35

Множення в позиційній СЧ 13


Slide 36

Ділення в позиційній СЧ 13


Slide 37

Завдання для закріплення Завдання 1. Виконати арифметичні операції в різних СЧ 1001100110 (2) + 1101000011(2) 289,4 (16 ) + 3FD,6 (16) 110000000 (2) – 10111101 (2) 1546,3 (8) - 1521,3 (8) 101000 (2) * 1110001 (2) 712,3 (8) : 64,2 (8) Домашнє завдання. Виконати арифметичні операції в різних СЧ 1001111100,01 (2) + 111001011,1 (2) 1011000111 (2) + 1010001010 (2) 1073,4 (8) + 621,2 (8) 110001000 (2) – 10110010 (2) 111000001,1 (2) - 100000111,0101 (2) 1D4,C8 (16) - 107,4 (16) 3D,8 (16) * 37,4 (16). 13


Slide 38

Перевод цілих чисел з десяткової системи числення в інші 14 Алгоритм переводу: Послідовно ділити з залишком дане число і одержувані цілі частки на основу нової системи числення до тих пір, поки частка не стане дорівнює нулю. Отримані залишки записати цифрами алфавіту нової системи числення. Записати число в новій системі числення з отриманих залишків в порядку, зворотному порядку отримання.


Slide 39

Приклад переводу цілого десяткового числа в двійкове 14


Slide 40

Приклад переводу цілого десяткового числа у вісімкове та шістнадцяткове 14


Slide 41

Перевод правильного десяткового дробу з десяткової системи числення 14 Алгоритм переводу: Послідовно множити десятковий дріб і одержувані дробові частини добутків на основу нової системи числення до тих пір, поки дробова частина не стане дорівнювати нулю або не буде досягнута необхідна точність переводу. Отримані цілі частини добутків записати цифрами алфавіту нової системи числення. Записати дробову частину числа в новій системі числення отриманими цілими частинами добутків у порядку їх отримання.


Slide 42

Приклад переводу дробового десяткового числа в інші СЧ 14


Slide 43

Перевод речових чисел з десяткової системи числення 14 При переводі змішаних дробів окремо за своїми правилами переводяться ціла і дробові частини, результати переводу розділяються комою.


Slide 44

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення в двійкову СЧ


Slide 45

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення у вісімкову СЧ


Slide 46

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення в шістнадцяткову СЧ


Slide 47

Перевод в десяткову СЧ 14 При переводі числа з системи числення з основою q в десяткову треба представити це число у вигляді суми добутків степенів основи його системи числення q на відповідні цифри числа: an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m           і виконати арифметичні обчислення.


Slide 48

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 1 0 1 1, 12 з двійкової системи в числення в десяткову СЧ Перевести число 2 7 6, 58 з вісімкової системи в числення в десяткову СЧ Перевести число 1 F 316 з шістнадцяткової системи в числення в десяткову СЧ


Slide 49

Перевод із двійкової СЧ у вісімкову та шістнадцяткову СЧ 14 Для переходу від двійкової до вісімкової / шістнадцяткової системи числення роблять таким чином: рухаючись від коми вліво і вправо, розбивають двійкове число на групи по 3/4 розряди, доповнюючи при необхідності нулями крайні ліву і праву групи. Потім кожну групу з 3/4 розрядів замінюють відповідною вісімковою / шістнадцятковою цифрою.


Slide 50

Перевод із вісімкової СЧ у шістнадцяткову СЧ і назад 14 При переході з вісімковій системи числення в шістнадцяткову і назад спочатку проводиться переведення чисел з вихідної системи числення в двійкову, а потім - у кінцеву систему.


Slide 51

Вправи по переводу чисел із однієї СЧ в іншу Перетворити десяткове число 546,3 (10) у двійкову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити двійкове число 100110,0110 (2) у десяткову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити вісімкове число 121,3 (8) у десяткову, двійкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити шістнадцяткове число 3FD,6 (16) у десяткову, двійкову, вісімкову СЧ. Домашнє завдання. Перетворити десяткове число 57,23 (10) у двійкову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити двійкове число 11110,11 (2) у десяткову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити вісімкове число 17,53 (8) у десяткову, двійкову, шістандцяткову СЧ. Перетворити шістнадцяткове число 3В,А6 (16) у десяткову, двійкову, вісімкову СЧ. 15


Slide 52

Контрольна робота № 2 Тест “Тема 2. Системи числення” 16


×

HTML:





Ссылка: