Олимпиада


The Presentation inside:

Slide 0

Олимпиада


Slide 1

1. Натуральные числа Множество положительных целых чисел называется натуральными числами 1 2 5 67 234 18 Обозначение: N При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д.


Slide 2

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Сумма двух четных чисел - четное число нечетное число


Slide 3

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число


Slide 4

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число


Slide 5

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Сумма двух четных чисел - 2. Сумма двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Сумма четного и нечетного чисел - четное число нечетное число


Slide 6

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Произведение двух четных чисел - четное число нечетное число


Slide 7

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число


Slide 8

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - нечетное число


Slide 9

Четность, нечетность Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными. n = 2k, где k принадлежит N - четное число n = 2k +1, где k принадлежит N - нечетное число Свойства четности, нечетность 1. Произведение двух четных чисел - 2. Произведение двух нечетных чисел - четное число нечетное число четное число 3. Произведение четного и нечетного чисел - четное число четное число


Slide 10

3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Соберите букеты


Slide 11

Решение задач 1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Могла ли лягушка сделать 17 прыжков? Решение. Нет. Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед. Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число.


Slide 12

2. Сумма трех чисел – нечетное число. Сколько слагаемых нечетно? Решение Пусть числа а = 2n, b = 2n + 1 Тогда возможно: а + а + а а + а + b а + b + b b + b + b = 6n = 4n + 1 = 4n + 2 = 6n + 3 нечетно нечетно Ответ: 1, 3 3. Определите четность суммы: 1 + 2 + 3 +…+ 1999 Для решения используем более короткий ряд: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9 В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу). Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна. В ряду 1 + 2 + 3 +…+ 1999 999 пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу). Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна


Slide 13

4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2 1 2


Slide 14

4. Шестеренки расставлены по кругу. Какое из колес будет крутиться? 1 2


Slide 15

5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли она за 20 прыжков оказаться на 101 см от исходного положения? Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной. 15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; (15 + 17)·20 – четное; (15 - 17)·20 – четное ВЫВОДЫ Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно. Пары: чет - нечет


Slide 16

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета.


Slide 17

Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симметрию. Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета. 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали? Клеток по диагонали - 9 Клеток в столбцах и строках без них 8. Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок.


Slide 18

6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Левый нижний край – в черный цвет. Можно ли расставить 5001 шашку черного цвета на черных клетках? Рассмотрим шахматную доску 8Х8 Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х100 - 50 Ответ: нельзя. Четное число


Slide 19

7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели. Сначала лампочки не горят. Нажмите на лампочки первого ряда. Нажмите на лампочки второго ряда. Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т.е. 8 раз. Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8.


Slide 20

7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите а) наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели, б) количество изменений состояний одной лампочки. Сначала лампочки не горят. а) Всего 50Х40 =2000 б) Всего 89 40 + 50 = 90, 90 – 1 = 89


Slide 21

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике. Анализ. Произведение равно 1 или – 1 Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов. - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 -1 1 Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1 Пусть количество 1 = n Пусть количество -1 = m Пусть n = m - нечетно Количество звеньев - четно n = m В этом случае при любой расстановке получится сторона , имеющая одинаковый знак с соседними. 1 -1 1 -1 1


Slide 22

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике. 1 -1 -1 -1 1 Пусть n = m - четно Количество звеньев - четно Пусть n = m = 2k Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k Следовательно, количество сторон кратно 4. Для решения нужно добавить еще два звена -1 -1 -1 -1 Ответ: Количество сторон кратно 4.


Slide 23

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0? Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков? Задача 3. В таблице, где имеются 15 отрицательных чисел , можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из всех положительных чисел? Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно? Решаем самостоятельно


Slide 24

Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно? Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к  оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске? Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю? 8. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?


Slide 25

3 7 1 13 15 11 5 17 9 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Букеты из четных и нечетных цветов Любое число, делящееся на два, можно назвать четным.


Slide 26

Действительные числа Действительные числа Натуральные числа Целые числа Целые положительные числа Целые положительные, отрицательные и нуль Рациональные числа Иррациональные числа Целые и дробные числа* и нуль Бесконечная непериодическая десятичная дробь Множество действительных чисел - R Множество натуральных чисел - N Множество целых чисел - Z * обыкновенные, конечные десятич. и периодические дроби


Slide 27

Делимость. Признаки делимости a : b = q a = b q a : b Делимость натуральных чисел. Свойства


Slide 28

Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п. Чтобы найти делители, надо число разложить на множители п5 – 5п3 + 4п = п(п4–5п2+4) = п(п4 –п2–4п2+4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2) Расположим множители в порядке возрастания ( п – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся на 2k, 3m, 4l, 5 p Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5


Slide 29

Простые и составные числа Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными. Простые Составные


Slide 30

Простые и составные числа Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми. Остальные числа называются составными. 3 7 1 13 23 11 5 17 19 2 8 10 12 14 16 18 4 6 Простые Составные


Slide 31

Разложение числа на простые множители 1) 12 = _________ 2) 24 = _________ 3) 75 = __________ 4) 48 = ______ 5) 72 = _________ 6) 250 = _________ 7) 54 = __________ 8) 80 = _______ Разложение числа на простые множители: 864 22·3 23·3 52·3 24·3 23·32 53·2 33·2 24·5 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 33


Slide 32

Наибольший общий делитель Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общим делителем. НОД НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, 120. 45 = 3·3· 5 75 = 3· 5·5 120 = 23 3· 5 Общие множители: 3 и 5 Берутся общие в меньшей степени НОД(45,75,120) = 15 Все числа делятся на 15


Slide 33

Наименьшее общее кратное Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общим кратным. НОК НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда Пример: Найдите НОК для чисел 45, 75. 45 = 3·3· 5 75 = 3· 5·5 НОК(45,75) = 3·5·3·5 = 225 225 делится на 45 и 75 Из 45 не хватает множителя 3 Из 75 не хватает множителя 5 Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое. НОК(30, 12) 30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится = 60 Берутся все множители в большей степени.


Slide 34

В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5. 120 = 2 · 3 · 4 · 5


Slide 35

Взаимно простые числа Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число. Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5 Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab


Slide 36

Периодичность последней цифры при возведении в степень 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 31 = 3 35 = 243 32 = 9 36 = 729 33 =27 37 = 2187 34 = 81 38 = 37·3 ВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень. Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно, что окончаний при возведении 2n – 4( 2, 4, 8, 6) Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4 Разделим 2014 на 4: 2014 : 4 = 503 и 2 в остатке 2, 4, 8, 6 Ответ: 4


Slide 37

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014 Известно: 21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256 Окончаний 4: 2, 4, 8, 6 ВЫВОДЫ Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень


Slide 38

Деление с остатком 137 4 3 12 17 4 16 1 Остаток 137 = 4 · 34 + 1 Целая часть Если а делится на b с остатком, то a = bq + r q – целая часть деления r – остаток деления Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2 Таких чисел множество: n = 3k + 2 Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2.


Slide 39

Периодичность остатков при делении на натуральное число Определим остатки при делении числа п на 2. ВЫВОДЫ Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1 Определим остатки при делении числа п на 3. ВЫВОДЫ Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2


Slide 40

Периодичность остатков при делении на натуральное число Определим остатки при делении числа п на 4. ВЫВОДЫ Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3 Определим остатки при делении числа п на 5. ВЫВОДЫ Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4


Slide 41

Периодичность остатков при делении на натуральное число ВЫВОД Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1 Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2 Остаток при делении п2 на 3 может быть только 1. * Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство. Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2 п = 3k + 1. n2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 = 3m + 1 п = 3k + 2. n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1.


Slide 42

Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1 делится на 2015? 2015 делится на 5. Рассмотрим деление с остатком числа п на 5. Остатки: 1, 2, 3, 4 п = 5k + 1, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 15k + 3 = 5l + 3 Остаток 3 п = 5k + 2, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 25k + 7 = 5l + 7 Остаток 2 п = 5k + 3, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 35k + 13 = 5l + 13 Остаток 3 п = 5k + 4, тогда п2 + п + 1 = 25k2 + 45k + 21 = 5l + 17 Остаток 2 Число п не делится на 2015.


Slide 43

Рациональные числа т – целое число; п – натуральное число Множество рациональных чисел - Q


Slide 44

Обыкновенная дробь Основное свойство дроби Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже чсло, неравное нулю. Сокращение дробей Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители. Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители. Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей.


Slide 45

Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п. Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой. В числителе число n делится на 6 и в остатке 3 В знаменателе число п делится на 6 и в остатке 4 Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число. k = Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1.


Slide 46

Десятичная запись числа Всякое натуральное число может быть представлено в виде: п = а1 + а2 · 10 + а3 · 102 …+ аn – 1 · 10n – 1 + an · 10n Например, 123 = 3 + 2 · 10 + 1· 102 = 3 + 20 + 100 Требование десятичной записи обозначается чертой над числом. 123 п показывает разряд Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи:


Slide 47

Делится на 9 2010 2 1005 3 67 5 2010 = 2 · 3 · 5 · 67 Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9 67 > 9. Не может. 335


Slide 48

abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+ 111b+11c+d 1111a+ 111b+11c+d = 2011 а может быть равно только 1 (1111) a = 1 с может изменяться от 0 до 9. 11с изменяется от 0 до 99 b может изменяться от 0 до 9. 111b изменяется от 0 до 999 Пусть b = 9, тогда 111b = 999. 1111 + 999 = 2110 > 2011 Пусть b = 8, тогда 111b = 888. 1111 + 888 = 1999 < 2011 11c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1


Slide 49

Метод математической индукции Индукция – это переход от частного к общему. Метод используется для доказательств тех или иных утверждений с натуральными числами. Алгоритм 1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1 2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k 3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1


Slide 50

1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2 Шаг 1. п = 1 1 = 12 - верно Шаг 2. предположение п = k 1 + 3 + 5 … + (2k - 1) = k2 - верно Шаг 3. индуктивный переход. п = k + 1 1 + 3 + 5 … + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 { k2 k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 – верно Выделим в выражении левой части выражение для n=k Доказано. {


Slide 51

п = 1 - верно п = k - верно п = k + 1 Выделим в выражении левой части выражение для n=k { 2k2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3) Доказано.


Slide 52

Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2 п = 1 13 = 12 - верно п = k 13 +23 +33+…+k3 = (1+2+3+…+k)2 - верно п = k + 1 13 +23 +33+…+k3 +(k+1)3 = (1+2+3+…+k +(k+1))2 Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1)3 (1+2+3+…+k +(k+1))2 - (1+2+3+…+k)2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1)) a2 b2 (k + 1)3 Доказано. { { -


Slide 53

Задача 13. Найдите сумму Сначала необходимо выявить закономерность и создать формулу суммы. Потом доказать ее. Докажем, что это так: n = 1 S1 = ? - верно Доказано


Slide 54

Задача 14. Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4 п = k + 1 5k + 1 + 3 Докажем, что выражение делится на 4 5k + 1 + 3 = 5 · 5k + 3 = 5 · 5k + 15 – 15 + 3 = 5(5k + 3) - 12 5k + 3 делится на 4 12 делится на 4 Следовательно, все число делится на 4


Slide 55

Решение уравнений в целых числах Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называется диофантовым Уравнение вида ах + bx = c 1. Метод перебора Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12 1) х =1 2· 1 + 5у = 12; у = 2 (1;2) 2) х =2 2· 2 + 5у = 12; у - дробное 3) х =3 2· 3 + 5у = 12; у - дробное 4) х =4 2· 4 + 5у = 12; у - дробное 5) х =5 2· 5 + 5у = 12; у - дробное 6) х =6 2· 6 + 5у = 12; у = 0 (6;0) 7) х > 6 2· 7 + 5у = 12; у < 0 Ответ: (1;2), (6;0)


Slide 56

Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в клетке и тех и других? Пусть кроликов х, у них 4 ноги. Пусть фазанов у, у них 2 ноги. 4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х Перебор: 1) х = 1; у = 7 2) х = 2; у = 5 3) х = 3; у = 3 4) х = 4; у = 1 5) х = 5; у = -1 < 0 6) х > 5; у < 0 Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)


Slide 57

Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД(a,b) Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах. 3х = 4у + 1 Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3 Пусть у = 3р Тогда 12р + 1 – не делится 3 Пусть у = 3р + 1 Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3 Пусть у = 3р + 2 Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3 3х = 12р + 9 х = 4р + 3 12р + 9 – 4у – 1 = 1 12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8 у = 3р + 2 Уравнение имеет бесконечное множество решений Решение уравнений в целых числах


Slide 58

Формулы решения уравнения ax + bx = c Заметим, что а и b взаимно просты. Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числах. 1. Найдем подбором одно из решений х = 1, 2 Нет целых решений. х 0= 3 у0 = 3 2. Запишем по формулам решения: 5х + 8у = 39 х 0= 3 х = 3 - 8 p y = 3 + 5 p у0 = 3


Slide 59

Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах. Перебор для нахождения х0 и у0 сложный. Применим метод понижения коэффициентов. 23х - 79у = -1 Представим 79у как сумму чисел, одно из которых кратно 23 23х - 69у – 10у = -1 23х - 69у = 10у -1 Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже. Подберем у так, чтобы 10у – 1 делилось бы на 23. Очевидно, что у0 = 7 х0 = 24 х = 24 + 79р; у = 7 + 23р


Slide 60

Решение нелинейных уравнений Метод разложения на множители Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подбору целых решений. Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах. Разложим левую часть: ху + 2х + 3у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6 (у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7 (у +2)(х +3) = 13 13 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0 Поэтому для решения в целых числах получим системы:


Slide 61

Метод решения уравнения относительно одной из переменных Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах. Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром. х2 - 3ху + 2 у2 = 0 D = 9y2 – 8y2 = y2 (x – y)(x – 2y) = 0 Задача 18. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 11 в целых числах. (x – y)(x – 2y) = 11 Далее см. задачу 16.


Slide 62

Задача 19. Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах. Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у. 3х2 + (3у – 1)х + 3у2 – 8у = 0 D = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1 Уравнение имеет решения, если D ? 0 Решим: - 27y2 + 90y + 1 ? 0 27y2 - 90y – 1 = 0 у1 ? - 1, … у2 ? 2, … -1 ? y ? 2 y = -1, 0, 1, 2 y = - 1 3х2 - 4х + 11 = 0 нет целых корней y = 0 3х2 - х = 0 целое х = 0 y = 1 3х2 + 2х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3 y = 2 3х2 + 5х – 4 = 0 нет целых корней Ответ: (0;0), (1;1)


Slide 63

Задача 20. Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах. Будем решать относительно х: х2 – (1 + у)х + у2 – у = 0. D = - 3y2 + 6y + 1 Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть – 3у2 + 6y + 1 = t2 Оценим t, выделив полный квадрат. - 3((у2 – 2у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1)2 + 4 - 3(у – 1)2 + 4 = t2 t2 ? 4, | t | ? 2, -2 ? t ? 2 t = - 2, - 1, 0, 1, 2 t = - 2 - 3(у – 1)2 + 4 = 4, y = 1 x2 – 2x = 0, x = 0, x = 2 t = - 1 - 3(у – 1)2 + 4 = 1, y = 2, x2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2 t = 0 - 3(у – 1)2 + 4 = 0, нет целых решений t = 1 См. t = - 1 у =0 x2 – x = 0, x = 0, x = 1 t = 2 См. t = - 2 Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0)


Slide 64

Метод последних цифр при возведении в степень Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах. Определим последние цифры при последовательном возведении в степень: n = 2, m = 4 Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным.


Slide 65

Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4. Рассмотрим совпадение последних цифр при п = 2 + 4k и при т = 4 + 4l 32 + 4k = 9 · 34k 24 + 4l = 16 · 24l k=1, l=3 36 + 7 ? 216 k=2, l=1 310 + 7 ? 28 k=3, l=4 314 + 7 ? 220 k=4, l=2 318 + 7 ? 212 k=5, l=5 322 + 7 ? 224 Ни при каких k и l нельзя добиться равенства. Ответ: п=2, т=4


Slide 66

Метод оценок Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 1. Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно. х = 2, у = 1 Больше решений нет: 2х2 > 5y2 Ответ: x = 2, y = 1 242 – 245 = - 3


Slide 67

Метод оценок Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах. Способ 2. Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое) Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно. 2x2 – 5(2n + 1)2 = 3 2x2 – 20n2 - 20n - 5 = 3 2x2 = 20n2 + 20n + 8 x2 = 10n2 + 10n + 4 Так как х – натуральное, то 10n2 + 10n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х2 = 4 х = 2 2· 4 – 5у2 = 3, у = 1 Ответ: x = 2, y = 1


Slide 68

Метод приведения к сумме положительных чисел Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах. a2 + b2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна. Выделим полный квадрат относительно х: х2 + 4ху + 4у2 – 4у2 + 13у2 = 58 (х + 2у)2 + 9у2 = 58 Так как сумма равна 58, то 9у2 < 58 у2 < 58/9 В целых числах | у | < 2 , y = ± 1, y = 0 у = 1, х2 + 4х + 13 = 58, х2 + 4х – 45 = 0, х = - 9, х = 5 Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1) При у = 0 целых х нет. у = - 1, х2 - 4х + 13 = 58, х2 - 4х – 45 = 0, х = 9, х = - 5 Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом


Slide 69

Решение логических задач


Slide 70

Решение логических задач Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0


Slide 71

Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. Не врач Не туризм Юра Физик Бег Влад Юрист Регби Врач Туризм


Slide 72

Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету. Где живет Айрис, и какова ее профессия? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Это допущение


Slide 73

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны 0 1 1 0 1 Получили противоречие.


Slide 74

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны 0 1 1 0 1 Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский


Slide 75

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно. 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский; Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны 1 1 0 1 Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский


Slide 76

э


Slide 77


Slide 78


×

HTML:





Ссылка: